აკადემიკოს ლევან ალექსიძის სახელობის ფონდს ჰყავს გამგეობა, რომლის შემადგენლობა ყოველ ხუთ წელიწადში ერთხელ უნდა განახლდეს ორი წევრით. გამგეობის საქმიანობას ხელმძღვანელობს გამგეობის თავმჯდომარე.
გამგეობათა გადაწყვეტათა აღსრულება, ორგანიზაციის ხელმძღვანელობა და წარმომადგენლობა ეკისრება ხუთი წლის ვადით არჩეულ დირექტორს.
